Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．

（1）试说明△CEF是等腰三角形．

（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；

（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解析】
（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BAC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE＝∠EAB，

∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CF＝CE，

∴△CEF是等腰三角形；

（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，

∴AE＝BE，

∴∠EAB＝∠B，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAE＝∠EAB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∴∠B＝30°，

∴AC＝AB．