Question

在△ABC中，AD是它的角平分线．

（1）如图1，求证：S_△ABD：S_△ACD＝AB：AC＝BD：CD；

（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD＝3，BE＝CD＝2，AE＝2CD，求证：△BED是等腰三角形；

（3）在图1中，若3∠BAC＝2∠C，∠ADB＞∠B＞∠BAD，直接写出∠BAC的取值范围　   　．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）40°＜∠BAC＜60°．

【解析】

（1）作辅助线，构建三角形的性质得：DE＝DF，利用三角形面积的不同计算方法可得结论；

（2）证明△AED≌△ACD，可得DE＝CD＝BE，可得结论；

（3）设∠BAD＝x，根据∠ADB＞∠B＞∠BAD，列不等式可解答．

证明：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，

∴DE＝DF，

∴＝＝＝＝；

S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；

（2）如图2，由（1）知：AB：AC＝BD：CD；

∵BE＝CD＝2，AE＝2CD＝4，

∴，AC＝4＝AE，

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED＝CD＝2，

∵BE＝2，∴BE＝DE＝2，

∴△BED是等腰三角形；

（3）设∠BAD＝x，则∠BAC＝2x，

∵3∠BAC＝2∠C，

∴∠C＝3x，

∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝4x，

∵∠ADB＞∠B＞∠BAD，

∴4x＞180−5x＞x，

解得：20°＜x＜30°，

∴40°＜∠BAC＜60°．

故答案为：40°＜∠BAC＜60°．