Question

如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，

(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；

(2)求证：CD平分∠ADB；

(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°.

【解析】

(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论；

(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；

(3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得 △CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数．

(1)∵A(-1,0),B(1,0)，

∴OA=OB=1，

∵CO⊥AB，

∴CA=CB，

∴∠ABC=∠BAC，

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，

∴∠ADB+∠ACB=180°，

即∠ADB与∠ACB互补；

(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠ANB=90°，

∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°，

∴∠ADB+∠MCN=180°，

又∵∠ADB+∠ACB=180°，

∴∠MCN=∠ACB，

∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，

即∠ACM=∠BCN，

又∵AB=AC，

∴△ACM≌△ABN (AAS)，

∴AM=AN．

∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；

(3)∠BAC的度数不变化，

延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，

∵CD=AD+BD，

∴CD=DP，

∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，

∴∠CAD+∠CBD=180°，

∵∠CBD+∠CBP=180°，

∴∠CAD=∠CBP，

又∵CA=CB，

∴△CAD≌△CBP，

∴CD=CP，

∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形，

∴∠CDP=60°，

∴∠ADB=2∠CDP=120°，

又∵∠ADB=2∠BAC，

∴∠BAC=60°.