Question

（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，动点D在边AC上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连结AP、BD交于Q，两点运动的过程中，AP＝BD成立吗？请证明你的结论．

（2）如果把原题中的“动点D在边AC上，动点P在边BC上，”改为：“动点D在射线CA上、动点P在射线BC上运动，”其他条件不变，如图2所示，AP＝BD还成立吗？说明理由，并求出∠BQP的大小．

（3）如果把原题中的“动点P在边BC上”，改为“动点P在射线AB上运动”，连结DP交BC于E，其他条件不变，如图3，则动点D、P在运动过程中，请你写出DE与PE的数量关系．

Answer

（1）成立，理由见解析；（2）AP＝BD成立，理由见解析, 60°；（3）DE＝PE，理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，证明△ABP≌△BCD，根据全等三角形的性质解答；

（2）证明△ABP≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AP＝BD，根据三角形的外角的性质求出∠BQP；

（3）作DH∥AB交BC于H，得到△CDH为等边三角形，得到DH＝CD，证明△HDE≌△BPE，根据全等三角形的性质证明．

【解析】
（1）成立，

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，

由题意得，CD＝BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD，

∴AP＝BD；

（2）AP＝BD成立，

理由如下：由题意得，CP＝AD，

∴CP+BC＝AD+AC，即BP＝CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD，

∴AP＝BD，∠APB＝∠BDC，

∵∠APC+∠PAC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠PAC，

∴∠BQP＝∠DAQ+∠BDC＝60°；

（3）DE＝PE，

理由如下：作DH∥AB交BC于H，

∵△ABC为等边三角形，DH∥AB

∴∠CDH＝∠A＝60°，∠CHD＝∠CBA＝60°，∠HDE＝∠P，

∴△CDH为等边三角形，

∴DH＝CD，

∵CD＝BP，

∴DH＝BP，

在△HDE和△BPE中，

，

∴△HDE≌△BPE，

∴DE＝PE．