Question

已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线.

(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

(2)如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

(3)在(2)的条件下，若∠AOB＝10°，当∠B0C在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON.求t的值.

Answer

(1)∠MON的度数为80°；(2)∠MON的度数为70°或90°；(3)t的值为21.

【解析】

(1)根据角平分线的定义进行角的计算即可；

(2)分两种情况画图形，根据角平分线的定义进行角的计算即可；

(3)根据(2)中前一种情况用含t的式子表示角度，再根据已知条件即可求解.

【解析】
(1)因为∠AOD＝160°，

OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，

所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，

即∠MON＝∠MOB+∠BON

＝∠AOB+∠BOD

＝(∠AOB+∠BOD)

＝∠AOD＝80°，

答：∠MON的度数为80°；

(2)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，

①射线OC在OB左侧时，

如图：

∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC

＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC

＝(∠AOC+∠BOD)﹣∠BOC

＝(∠AOD+∠BOC)﹣∠BOC

＝×180°﹣20°

＝70°；

②射线OC在OB右侧时，

如图：

∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC

＝∠AOC+∠BOD+∠BOC

＝(∠AOC+∠BOD)+∠BOC

＝(∠AOD﹣∠BOC)+∠BOC

＝×140°+20°

＝90°；

答：∠MON的度数为70°或90°.

(3)∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，

∴根据(2)中的第一种情况，得

∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°.

∵射线OM平分∠AOC，

∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°.

∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，

∴∠BOD＝150°﹣2t°.

∵射线ON平分∠BOD，

∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°.

又∵∠AOM：∠DON＝2：3，

∴(t+15)：(75﹣t)＝2：3，

解得t＝21.

根据（2）中的第二中情况，观察图形可知：这种情况不可能存在∠AOB=10°.

答：t的值为21.