Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(1，-2)，C(3，-1)，P(m，n)是△ABC的边AB上一点.

(1)画出△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁与△ABC关于点O成中心对称，并写出点A、P的对应点A₁、P₁的坐标.

(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A₁B₁C₁放大后的△A₂B₂C₂，并分别写出点A₁、P₁的对应点A₂、P₂的坐标.

(3)求sin∠B₂A₂C₂的值.

Answer

(1)画图见解析；A1(-2，-1)，P1(-m，-n)；(2)画图见解析，A2(-4，-2)，P2(-2m，-2n)；(3)sin∠B2A2C2=.

【解析】

(1)作出△ABC各点关于原点的对称点，再顺次连接，再根据原点对称图形性质求出A1、P1的坐标；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案；

(3)证实△ABC为等腰直角三角形及△ABC和△A2 B2C2相似即可求出结果.

【解析】
(1)如图，A1(-2，-1)，P1(-m，-n)；

(2)如图，A2(-4,-2)，P2(-2m,-2n)；

(3) ∵AC=，BC=,AB=，

∴,AC=BC

∴△ABC为等腰直角三角形，

又∵△ABC和△A1B1C1关于原点对称，△A1B1C1和△A2 B2C2相似，

∴△ABC和△A2 B2C2相似，△A2 B2C2是等腰直角三角形，

∴ sin∠B2A2C2= sin45°=.