Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).

①求证：△APB∽△DCP；

②求PC、BC的长.

(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：

① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.

② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.

Answer

(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.

【解析】

（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；

（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.

【解析】
(1)①如图3.2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，

∴在Rt△ABC中，

∠1+∠2=90°，BP=.

又∵∠BPC=90°,

∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3.

∴△APB∽△DCP.

②由△APB∽△DCP.

∴，即.

∴PC=2，DP=4.

∴BC=AD=AP+DP=5.

(2)①tan∠PEF的值不变.

理由如下：

如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.

∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，

∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，

又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3.

∴△APE∽△GFP，

∴.

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.

∴tan∠PEF的值不变.

②由△APE∽△GFP.

∴.

∴GP=2AE=2x，

∵四边形ABFG是矩形.

∴BF=AG=AP+GP=2x+1.

△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：

(Ⅰ)当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上.

∴ BF=2AP. 即2x+1=2，

∴x=.

(Ⅱ)当BF=BP时，

BP=BP=

∴2x+1=.

∴x=.

(Ⅲ)当BF=PF时，

∵PF=，

∴(2x)2+22=(2x+1)2，

∴x=.