Question

阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）= a²+3ab+2b²．请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式              ；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=29，求a ²+b²+c²的值；

（3）小明同学打算用x张边长为a和y张边长为b的小正方形，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(3a+5b)(4a+7b)的长方形，那么他总共需要多少张纸片？

Answer

（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）23；（3）88张.

【解析】

（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c=9，ab+bc+ac=29代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；

（3）将(3a+5b)(4a+7b)展开后即可得出答案.

【解析】
(1)正方形的面积可表示为=(a+b+c)2；

正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)∵a+b+c=12，ab+bc+ac=29，

∴由(1)可知：a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=81-29×2=23，

（3）∵==

∴需要边长为a的小正方形12张，变成为b的小正方形35张，邻边为a、b的长方形41张，总共需要12+35+41=88张.