Question

如图，在△ABC中，AB=2,BC=4，其两条外角平分线AD、CD交于点D，且∠ADC=45°，连接BD交AC于点P，过点P作PE⊥AC交BC于点F，交AB的延长线于点E．

（1）求证：∠ABC=90° ;

（2）求S_△PFC：S_△PBF的值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）设∠BAC=，∠ACB=，然后分别表示出∠DAC和∠DCA，利用三角形内角和可求出，即可得证；

（2）由角平分线的性质易得BD平分∠ABC，过P作PG⊥BD，易证△PBE≌△PGC，然后证明△PCF≌△PEA，可得CF=AE，设BF=x，则CF=AE=4-x，可得BE=2-x，由BF与BE的比例关系可解出x，得到BF与FC的比例关系即为面积比.

【解析】
（1）设∠BAC=，∠ACB=，

∵AD、CD为△ABC的外角平分线，

∴∠DAC=

∠DCA=

在△ACD中，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，

即

∴

∴∠ABC=

（2）如图所示，过D作DN⊥AB于点N，DM⊥BC于点M，DH⊥AC于点H，

∵AD平分∠CAN，CD平分∠ACM，

∴DN=DH，DH=DM

∴DN=DM

∴BD平分∠ABC

又∵∠ABC=90°，

∴∠PBC=45°，

过P作PG⊥PB，交BC于点G，如图，

∴∠PBG=∠PGB=45°

∴PB=PG

∵∠PCG+∠BAC=90°，∠E+∠BAC=90°

∴∠PCG=∠E

∵PE⊥AC

∴∠CPG+∠GPF=90°

又∵∠EPB+∠GPF=90°

∴∠CPG=∠EPB

在△PBE和△PGC中，

∴△PBE≌△PGC（AAS）

∴PE=PC

在△PCF和△PEA中，

∴△PCF≌△PEA（ASA）

∴CF=AE

设BF=x，则CF=AE=4-x，BE=AE-AB=2-x，

∵∠ACB=∠E，∠ABC=∠FBE=90°，

∴△ABC∽△FBE

∴

即，解得x=

∴CF=

∴

即S△PFC:S△PBF的值为.