Question

已知：BF为△ABC的外角∠ABE的平分线，D为BF上一点，且AD＝CD.

（1）如图1，过点D作DH⊥CE于点H，若AB＝8，BC＝6，求BH的长．

（2）如图2，若∠ABC＝24°，∠ABD＝78°，∠BAD＝60°，求∠BAC的度数．

Answer

（1）BH=1；（2）∠BAC=48°.

【解析】

（1）过D作DM⊥AB于M，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DM=DH，利用HL即可判定Rt△ADM≌Rt△CDH，得到AM=CH，易证Rt△DBM≌Rt△DBH，得到BM=BH，然后利用AB=AM+BM，CH=BC+BH即可求出BH；

（2）过D作DH⊥CE于H，DM⊥AB于M，由角平分线的性质定理可得DM=DH，利用HL即可判定Rt△ADM≌Rt△CDH，得到∠DCH=∠BAD=60°，再根据等边对等角可得∠DAC=∠DCA，△ABC中，利用三角形内角和定理即可求出∠BAC.

【解析】
（1）过D作DM⊥AB于M，如图所示，

∵BF平分∠ABE，DH⊥CE，DM⊥AB，

∴DM=DH

在Rt△ADM和Rt△CDH中，

∴Rt△ADM≌Rt△CDH（HL）

∴AM=CH

在Rt△DBM和Rt△DBH中，

∴Rt△DBM≌Rt△DBH（HL）

∴BM=BH

又∵AB=AM+BM，CH=BC+BH

∴AB=BC+2BH

∴BH=

（2）过D作DH⊥CE于H，DM⊥AB于M，

∵BF平分∠ABE，DH⊥CE，DM⊥AB，

∴DM=DH

在Rt△ADM和Rt△CDH中，

∴Rt△ADM≌Rt△CDH（HL）

∴∠DCH=∠BAD=60°

∵AD=CD

∴∠DAC=∠DCA

∴∠DCA=∠BAC+60°，

在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，

即∠BAC+∠BAC+60°+∠ABC=180°

∴2∠BAC=180°-60°-24°=96°

∴∠BAC=48°.