Question

    (1)如图1，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，点H在BC边上，连AH，作等腰Rt△HFA，∠HFA=90°求证：AF=CF.

     

(2)如图2，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，D在BC上，AD⊥AE,AD=AE,G为CD中点，求证：AG⊥BE

(3)如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，过C作CD∥AB, CD=8，连AD,在AD上取一点E使AE=AB，连BE交AC于F，若AF=9，则AD=        .

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）17.

【解析】

（1）以AH为直径作圆O，与BC交于点E，可得∠AEC=90°，由等腰三角形三线合一可知AE为BC边上的中线，所以EA=EC，再由圆周角定理推出∠AEF=∠AHF=45°=∠CEF，再次由等腰三角形三线合一可知EF垂直平分AC，即可得证；

（2）延长AG到N，使GN=AG，连接CN，易证△AGD≌△NGC，然后推出∠ACN=∠BAE，再证明△ACN≌△BAE，得到∠CAN=∠ABE，即可得出结论；

（3）延长BE，CD交于G，易得DG=DE，设CF=a，则AC=AB=AE=AF+CF=9+a，由相似三角形对应边成比例，用a表示出CG，DE，AD，然后用勾股定理建立方程求解.

证明：（1）如图所示，以AH为直径作圆O，与BC交于点E，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，

∵AB=AC

∴AE为BC边上的中线，

∴EA=EC

由∵∠AEF=∠AHF=45°

∴∠CEF=90°-45°=45°

∴∠AEF=∠CEF

由等腰三角形三线合一可得EF垂直平分AC，

∴AF=CF

（2）延长AG到N，使GN=AG，连接CN，

∵G为CD中点，

∴CG=DG，

在△AGD和△NGC中，

∴△AGD≌△NGC（SAS）

∴∠DAG=∠N，AD=NC，∠ADG=∠NCG

∵AE=AD

∴AE=NC

∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠EAC=∠BAD

∵∠ADG=∠BAD+∠ABD=∠BAD+45°

∴∠ACN=∠NCG+45°=∠BAD+90°

又∵∠BAE=∠EAC+90°

∴∠ACN=∠BAE

在△ACN和△BAE中，

∴△ACN≌△BAE（SAS）

∴∠CAN=∠ABE

又∵∠ABE+∠AMB=90°

∴∠CAN+∠AMB=90°

∴AG⊥BE

（3）如图，延长BE，CD交于G，

∵AB∥CD

∴∠ACD=∠BAC=90°，∠G=∠ABE

又∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵AEB=∠DEG

∴∠G=∠DEG

∴DG=DE

设CF=a，则AC=AB=AE=AF+CF=9+a

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CGF

∴，即

解得

∴DE=DG=CG-CD=

∴AD=AE+DE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2

即

令，则原方程变形为

整理得，解得x=0或225

即或

舍去负根得

∴AD=

故答案为：17.