Question

如图，在直角坐标系中，A(-a,0),B(b,0),C(0,c),且满足.

(1)如图1，过B作BD⊥AC,交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．

(2)如图2，若a=3，AC=6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD=PO，∠DPO=45°，求点D的坐标．

(3)如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME=∠OMA,EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段OG,OM,CM三者之间的数量关系，并给出证明．

Answer

（1）M（0,2）；（2）D（，0）；（3）OG+OM=CM，证明见解析.

【解析】

（1）由被开方数大于等于0，可得a=c，b=2，则B点坐标为（2,0），易得△OAC和△OBM为等腰直角三角形，所以OM=OB=2，从而得到M点坐标；

（2）由“一线三等角”模型，易证△PAD≌△OCP，从而得到AP=OC，AD=PC，即可求出OD的长度，进而得到D点坐标；

（3）设OM=m，则M点坐标为（0，m），分别求出AC、AM、EM的解析式，将EM与AC联立求得E点坐标，再根据EF⊥AM，可得EF的斜率，进而求出EF的解析式，然后求出G点坐标即可得出关系.

【解析】
（1）由题意得，

∴，

∴OA=OC，B点坐标（2,0）

∴∠OAC=∠OCA=45°，

又∵BD⊥AC

∴∠OBM=45°，

∴∠OMB=∠OBM=45°，

∴OM=OB=2

∴M点的坐标为（0,2）

（2）∵∠APO=∠APD+∠DPO=∠PCO+∠POC，且∠DPO=∠PCO=45°

∴∠APD=∠POC

在△PAD和△OCP中，

∴△PAD≌△OCP（AAS）

∴AP=OC=，AD=PC

∴PC=AC-AP==AD

∴OD=OA-AD=

∵D点在x轴负半轴，

∴D点坐标为（，0）

（3）OG+OM=CM，证明如下：

设OM=m，则M点坐标为（0，m）

由（1）可知OA=OC=a，A点坐标为（-a，0），C点坐标为（0，a）

∴AC直线解析式为：

AM直线解析式为：

如图，延长EM，AO交于点H，

∵∠CME=∠OMA，∠CME=∠OMH

∴∠OMA=∠OMH

又∵MO⊥AH

∴OA=OH=a

∴直线EH解析式为：

将直线AC与直线EH联立得

解得

∴E点坐标为（，）

∵EF⊥AM

∴kEF·kAM=-1

∴kEF=

设EF解析式为：

将E点坐标（，）代入得

=，解得

设EF解析式为：

当y=0时，

解得

∴G点坐标为（，0）

∵G在x轴的负半轴

∴OG=

∴OG+OM=

又∵CM=OC-OM=

∴OG+OM=CM