Question

如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.

（1）ΔABE与ΔDFA相似吗？请说明理由；

（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长.

Answer

(1)详见解析；（2）3.6.

【解析】

（1）由四边形ABCD是矩形结合DF⊥AE于点F易得：∠B=∠DFA=90°，∠AEB=∠DAF，从而可得△ABE∽△DFA；

（2）在△ABE中，由AB=3，BE=4，∠B=90°可得AE=5，由（1）中所得△ABE∽△DFA可得，结合AD=6即可求得DF的长.

(1) ΔABE与ΔDFA相似，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC ，∠B=90°，

∴∠DAE=∠AEB，

∵DF⊥AE ，

∴∠B=∠AFD=90°，

∴△ABE∽△DFA ；

(2)在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，BE=4，

∴AE=5，

∵△ABE∽△DFA，

∴ ，

∴ ，

∴DF=3.6.