Question

如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，

∠AOD=∠APC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OP，证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；（2）根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积，求出相关数据代入计算.

（1）证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图.

∴∠OCD=90°，

∴∠ODC+∠COD=90°，

∵OD=OP，

∴∠ODC=∠OPC，

∵∠COD=∠APC，

∴∠OPC+∠APC=90°，

∴∠APO=90°,即AP⊥PO，

∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线.

（2）在Rt△APO中，tan∠AOP=，

∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°，

∴OC=2，∴PC= ，

∴PD=，

∵OD=OP，OB⊥PD，

∴∠POB=∠COD=60°，

∴∠POD=120°，

∴阴影部分面积为： .