Question

定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数。例如：一次函数y=x−1,它们的相关函数为y= .

(1)已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值；

(2)已知二次函数y=−x+4x− .

①当点B(m, )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当−3⩽x⩽3时,求函数y=−x+4x−的相关函数的最大值和最小值.

Answer

（1）1；（2）①m=2− 或m=2+或m=2− ；②最大值为 ,最小值为−.

【解析】

（1）写出y=ax-3的相关函数，代入计算；

（2）①写出二次函数y=−x+4x−的相关函数，代入计算；

②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．

(1)y=ax−3的相关函数y= ，

将A(−5,8)代入y=−ax+3得：5a+3=8，

解得a=1；

(2)二次函数y=−x+4x−的相关函数为y= ，

①当m<0时,将B(m, )代入y=x-4x+

得m-4m+，

解得：m=2+ (舍去),或m=2−，

当m⩾0时,将B(m, )代入y=−x+4x−得：

−m +4m− ，

解得：m=2+或m=2−.

综上所述：m=2− 或m=2+或m=2− ；

②当−3⩽x<0时, y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2，

此时y随x的增大而减小，

∴此时y的最大值为，

当0⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2，

当x=0有最小值,最小值为−,当x=2时,有最大值,最大值y= ，

综上所述,当−3⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−的相关函数的最大值为 ,最小值为−.