Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由．

Answer

（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形．

【解析】

（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF
（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．

（1）【解析】
BE=DF．理由如下：

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，

∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，

在△ABE和△C1BF中

，

∴△ABE≌△C1BF，

∴BE=BF

（2）【解析】
四边形BC1DA是菱形．理由如下：

∵AB=BC=2，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠A1=∠C1=30°，

∵∠ABA1=∠CBC1=30°，

∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，

∴A1C1∥AB，AC∥BC1，

∴四边形BC1DA是平行四边形．

又∵AB=BC1，

∴四边形BC1DA是菱形