Question

如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．

（1）求该抛物线和直线BC的解析式；

（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；（2）；（3）存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．

【解析】

（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式；

（2）求出点D的坐标，然后根据S△ABD＝S△ACD＋S△ABC进行计算，即可得出答案；

（3）AB长度固定，只需满足QA＋QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置，求出直线A'B的解析式，即可解决问题．

【解析】
（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：，

解得：，

故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣6，

其对称轴为：x＝4，

故点C的坐标为（4，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，

解得：，

故直线BC的解析式为y＝x﹣6；

（2）联立直线BC与抛物线的解析式得：，

解得：或，

故点D的坐标为（5，），

则S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝；

（3）点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：

由题意得：A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），

设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：，

解得：，

即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，

当x=4时，y＝4﹣6＝－2，

故点Q的坐标为（4，﹣2）．

即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．