Question

关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m²=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|﹣2，求m的值及方程的根．

Answer

（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或

【解析】

试题（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.

试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1﹣，x2=1+．