Question

如图(1)，AB∥CD，猜想∠BPD与∠B.∠D的关系，说明理由．(提示：三角形的内角和等于180°)

①填空或填写理由

【解析】
猜想∠BPD+∠B+∠D=360°

理由：过点P作EF∥AB，

∴∠B+∠BPE=180°______

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴______∥_____，(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)

∴∠EPD+______=180°

∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°

∴∠B+∠BPD+∠D=360°

②依照上面的解题方法，观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B.∠D的关系，并说明理由．

 

③观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B.∠D的关系，不说明理由．

Answer

①

两直线平行，同旁内角互补；CD；EF；∠CDP②猜想∠BPD＝∠B＋∠D，理由见解析③（3）∠BPD＋∠B＝∠D；（4）∠BPD＝∠B−∠D.

【解析】

①过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，证出结论；

②与①的方法类似，过点P作EP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，证出结论；

③根据平行线的性质及三角形外角定理即可求解．

①猜想∠BPD＋∠B＋∠D＝360°

理由：过点P作EF∥AB，

∴∠B＋∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠EPD＋∠CDP＝180°

∴∠B＋∠BPE＋∠EPD＋∠D＝360°

∴∠B＋∠BPD＋∠D＝360°

故填：两直线平行，同旁内角互补；CD；EF；∠CDP

②猜想∠BPD＝∠B＋∠D

理由：过点P作EP∥AB，

∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠EPD＝∠D

∴∠BPD＝∠B＋∠D

③如图（3），PD、AB交于O点，

∵AB∥CD，∴∠D=∠AOP，

∵∠AOP=∠BPD＋∠B，

∴∠BPD＋∠B＝∠D；

即∠BPD与∠B、∠D的关系为∠BPD＋∠B＝∠D；

如图（4），PB、CD交于O点，

∵AB∥CD，∴∠B=∠COP，

∵∠COP=∠BPD＋∠D，

∴∠BPD＋∠D＝∠B；

即∠BPD与∠B、∠D的关系为∠BPD＝∠B−∠D.