Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx²﹣2mx﹣3（m≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C(B在C的左侧)

（1）求点A的坐标和对称轴

（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，求出P点坐标和△PAB的周长，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）A（0，-3）对称轴x=1；（2）y=x2-2x-3；（3）P（1，-2），+

【解析】

（1）令x=0可求出点A坐标，根据对称轴公式即可求出对称轴；

（2）根据∠ACB＝45°可得，△AOC为等腰直角三角形，所以OA=OC，再根据A点坐标即可求出C点坐标，最后将C点坐标代入表达式求出m即可解答；

（3）根据B、C关于对称轴对称，所以连接AC，与对称轴的交点即为P，根据A、C点坐标求出AC的表达式，据此可求出点P坐标，再根据A、B、C的坐标求周长即可.

【解析】
（1）令x=0可得，y=－3，

∴A（0，－3），对称轴，

故：A（0，－3），对称轴x=1；

（2）∵∠ACB=45°，

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴OA=OC，

由（1）知，A（0，－3），则OA=3,

∴C（3，0）

将点C 代入表达式得m=1，则y=x2－2x－3；

（3）如图，点B与点C关于对称轴对称，

∴连接AC交对称轴于点P， 此时PA+PB最小，最小值为AC，

∴AC+AB即为周长最小值，

根据A（0，－3），C（3，0），求得AC表达式为：y=x－3，AC=

将x=1代入y=x－3得，y=－2，则P（1，－2），

∵C（3，0），且B、C关于对称轴x=1对称，

∴B（－1，0）

∴AB=，

∴周长为：.