Question

如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．

（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；

（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

Answer

（Ⅰ）DE与⊙O相切（2）

【解析】

试题（1）如图1中，连接OD，欲证明ED是切线，只要证明∠EDO=90°即可．

（2）如图2中，连接BC，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．

试题解析：（1）如图1中，连接OD．

∵∠C=45°，

∴∠AOD=2∠C=90°，

∵ED∥AB，

∴∠AOD+∠EDO=180°，

∴∠EDO=90°，

∴ED⊥OD，

∴ED是⊙O切线．

（2）如图2中，连接BC，

∵CF=DF，

∴AF⊥CD，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∵AB∥ED，

∴ED⊥DC，

∴∠EDC=90°，

在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，

∴BC=1，AC=，

∴CF=AC=，CD=2CF=，

在RT△ECD中，

∵∠EDC=90°，CD=，∠E=∠CAB=30°，

∴EC=2CD=2，ED==3，

∴S△ECD=•ED•CD=．