Question

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG=2时，求⊙O的直径．

Answer

(1) ∠B与∠C的度数和为120°；(2)详见解析；（3）8.

【解析】

根据题意得出∠B=∠D,∠C=∠A,代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可;

求出△BED≌△BEO ,根据全等得出∠BDE=∠BOE ,连接OC,设∠EAF=α,则∠AFE=2∠EAF=2α,求出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α,∠AOC=180°-2α,即可得出等答案;

过点O作OM⊥BC,再由角与角之间关系得出边与边之间关系，进而得出解.

（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；

（2）证明：∵在△BED和△BEO中BD＝BO，∠EBD＝∠EBO，BE＝BE∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；

（3）【解析】
过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∠DBO=30°，∵DH=BG=2时，BD=4，直径=8.