Question

若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax²+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”

（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x²﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．

（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax²+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax²+bx+c顶点在二次函数y＝2x²﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax²+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax²+bx+c的解析式；

（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x²﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax²+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）不是，见解析；（2）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）2，为定值，见解析

【解析】

（1）y=x2-4x+5=(x-2)2+1，即顶点坐标为（2，1），当x=2时，y=-3x+5=-1≠1，即可求解；

（2）根据题意可设顶点坐标为（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y=2x2-3x-4得：m+2=2m2-3m-4，解得：m=3或-1，即可求解；

（3）根据函数与x轴交点判断出：当-3≤x≤-1时，函数在x=-1时取得最小值，即a=1+2-4=-1，设抛物线的顶点为P(m，2m+3)， “丘比特函数组”另外一个交点为Q(x，2x+3)，则抛物线的表达式为：y=a(x-m)2+(2m+3)=-(x-m)2+(2m+3)，把Q代入得：-(x-m)2+(2m+3)=2x+3，进行整理，再由韦达定理得：x+m=2m-2，解得：x=m-2，故点Q（m-2，2m-1），即可求解．

【解析】
（1）y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，即顶点坐标为（2，1），

当x＝2时，y＝﹣3x+5＝-1≠1，

故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；

（2）设二次函数的顶点为：（m，m+2），

将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，

解得：m＝3或﹣1，

当m＝3时，函数顶点为(3，5)， 则二次函数表达式为：y＝a(x﹣3)2+5，

又∵一次函数y＝x+2与y轴的交点为：(0，2)，

∴把(0，2)代入得：9a+5＝2，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2；

同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，

综上，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2或y＝x2+2x+2；

（3）是定值，理由：

令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，

故当﹣3≤x≤﹣1时，函数在x＝﹣1时取得最小值，

即a＝1+2﹣4＝﹣1，

设抛物线的顶点为P(m，2m+3)， “丘比特函数组”另外一个交点为Q(x，2x+3)，

则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣m)2+(2m+3)＝﹣(x﹣m)2+(2m+3)，

把Q代入得：﹣(x﹣m)2+(2m+3)＝2x+3，

整理得：x2+(2﹣2m)x+(m2﹣2m)＝0，

由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q(m﹣2，2m﹣1)，

则PQ＝＝2，为定值．