Question

已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=3，连接DE．

（1）DE的长为　   　．

（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？

（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．

Answer

（1）5；（2）当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等；（3）t的值为3或4或．

【解析】

（1）根据矩形的性质可得CD＝4，根据勾股定理可求DE的长；

（2）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间＝路程÷速度，可求t的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出BP，即可得到t的值．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，

在Rt△DCE中，DE＝＝5，

故答案为 5；

（2）若△ABP与△DCE全等，则BP＝CE或AP＝CE，

当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒，

当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒，

∴当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等；

（3）若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，

当PD＝DE时，

∵PD＝DE，DC⊥BE，

∴PC＝CE＝3，

∵BP＝BC−PC＝3，

∴t＝＝3；

当PE＝DE＝5时，

∵BP＝BE−PE，

∴BP＝6+3−5＝4，

∴t＝＝4；

当PD＝PE时，

∴PE＝PC＋CE＝3＋PC，

∴PD＝3＋PC，

在Rt△PDC中，PD2＝CD2＋PC2，

∴（3＋PC）2＝16＋PC2，

∴PC＝，

∵BP＝BC−PC＝，

∴，

综上所述：t的值为3或4或．