Question

（问题情境）如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

（1）（问题解决）延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是　   　．

（反思感悟）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．

（2）（尝试应用）如图②，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．

（3）（拓展延伸）如图③，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM=4，MN=5，AC=6时，请直接写出中线AD的长．

Answer

（1）2＜AD＜8；（2）AB2＋AC2＝4AD2，理由见解析；（3）AD＝5．

【解析】

（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△BDE≌△CDA，得出BE＝AC＝8，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；

（2）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图②所示，由（1）可知△BDE≌△CDA，然后只要证明∠ABE＝90°，利用勾股定理即可得出结论；

（3）延长ND到E，使得DN＝DE，连接BE、EM，首先证明△BDE≌△CDN，求出∠ABD＋∠DBE＝90°，然后利用勾股定理可得BE＝3，进而得到AN＝NC，利用三线合一证明DN⊥AC，同理可得DM⊥AB，然后证明四边形AMDN是矩形即可解决问题.

【解析】
（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE＜AE＜AB＋BE，

∴10−6＜AE＜10＋6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

（2）AB2＋AC2＝4AD2，

理由：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图②所示，

由（1）可知：△BDE≌△CDA，

∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠E＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAD＝∠BAC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AB2＋BE2＝AE2，

∴AB2＋AC2＝4AD2；

（3）如图③，延长ND到E，使得DN＝DE，连接BE、EM．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDN，DE＝DN，

∴△BDE≌△CDN，

∴BE＝CM，∠EBD＝∠C，

∵∠ABC＋∠C＝90°，

∴∠ABD＋∠DBE＝90°，

∵MD⊥EN，DE＝DN，

∴ME＝MN＝5，

在Rt△BEM中，BE＝＝3，

∴CN＝BE＝3，

∵AC＝6，

∴AN＝NC，

∵∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD＝DC＝BD，

∴DN⊥AC，

在Rt△AMN中，AM＝＝4，

∴AM＝BM，

∵DA＝DB，

∴DM⊥AB，

∴∠AMD＝∠AND＝∠MAN＝90°，

∴四边形AMDN是矩形，

∴AD＝MN＝5．