Question

如图，二次函数的图像与坐标轴交于点A（1， 0）和点C．经过点A的直线与二次函数图像交于另一点B，点B与点C关于二次函数图像的对称轴对称．

（1）求一次函数表达式；

（2）点P在二次函数图像的对称轴上，当△ACP的周长最小时，请求出点P的坐标．

Answer

（1）y=x-1；（2）P的坐标（2，1）

【解析】

（1）先利用对称轴方程确定抛物线的对称轴是直线x=2，再利用抛物线的对称性确定点B的坐标（4，3），然后利用待定系数法求一次函数表达式；

（2）连接AB交直线x=2于点P，如图，利用两点之间线段最短判断此时△ACP的周长最小，然后计算自变量为2对应的一次函数值即可得到满足条件的P的坐标．

（1）二次函数y=ax2-4ax+3的对称轴是直线x=-=2，

而点C的坐标为（0，3），

∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．

∴点B的坐标（4，3），

把A（1，0）和B（4，3）代入y=kx+b得

，解得，

∴一次函数表达式为y=x-1；

（2）连接AB交直线x=2于点P，如图，

∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称．

∴PC=PB，

∴PC+PA=PB+PA=AB，

∴此时PC+PA的值最小，△ACP的周长最小，

当x=2时，y=x-1=2-1=1，

∴满足条件的P的坐标（2，1）．