Question

如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,

（1）求证：BE＝CF ；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）-1

【解析】

（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；

（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．

（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，

即∠EAB=∠FAC，

在△ACF和△ABE中，

△ACF≌△ABE

BE=CF.

（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，

∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，

∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴BE=AC=，

∴BD=BE﹣DE=．