Question

已知抛物线y=mx²+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）试说明抛物线与直线有两个交点；

（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．

Answer

（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.

【解析】

（1）化为顶点式即可求顶点坐标;

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;

（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．

【解析】
（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，

∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，

mx2+mx=0，mx（x+1）=0，

∵m≠0，

∴x1=0，x2=-1．

∴抛物线与直线有两个交点．

（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，

点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．

①如图1，当-1≤t≤0时，PQ==．

∵m＞0，

当时，PQ有最大值，且最大值为．

∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值为．

②如图2，当0＜t≤1时，PQ==．

∵m＞0，

∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．

∵0＜m≤3，

∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．

综上所述，PQ的最大值为6．