Question

如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），△BEC面积记为S，S取何值时，对应的点E有且只有两个？

（3）直线x=2交直线BC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+3；（2）当S>3时对应的E点有且只有2个.（3）存在，点P的坐标是（﹣3，﹣），（5，﹣），（﹣1，）．

【解析】

（1）先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；

（2）过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，当点E在BC上方运动时，求出△BEC的面积的最大值，此时存在3个点；当面积大于3时，点E只能在BC的下方运动，对应的点E有且只有两个，即可解答；

（3）根据题意，先求出点A和点M的坐标，以及点Q的横坐标，然后根据平行四边形的判定和性质进行解答；可分为三种情况进行讨论：①当AM为对角线时；②当AQ是对角线时；③当MQ是对角线时；即可解决问题.

【解析】
（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，

∴，

解得：，

∴；

（2）如图1，当点E在直线BC上方抛物线上的一动点时，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F.

当点E在直线BC上方抛物线上的一动点时，

设点E的坐标是（x，），

则点M的坐标是（x，），

∴EM＝﹣（）＝，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝

＝

＝

＝；

∵，

∴当x＝2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

∴当S>3时对应的E点有且只有2个；

（3）根据题意，抛物线的解析式为：，

∴抛物线的对称轴为：，

∴点Q的横坐标为1；

当时，代入直线方程，得：，

∴点M坐标为：（，），

令，解得：或，

∴点A为，点C为（4，0）；

∵由以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，有以下情况：

①当AM为对角线时，如图：

此时AM中点的横坐标为：（，），

∵点Q的横坐标为1，则点P的横坐标为，

把代入抛物线得：，

∴点P坐标为：（，）；

②当AQ是对角线时，如图：

此时AQ中点的横坐标为：，

∵点M的横坐标为2，则点P的横坐标为；

把代入抛物线得：，

∴点P为：（，）；

③当MQ是对角线时，如图：

此时MQ中点的横坐标为：，

∵点A的横坐标为，则点P的横坐标为5；

把代入抛物线解析式得：，

∴点P为：（，）；

综合上述，点P的坐标是：（﹣1，）或（﹣3，）或（5，）．