Question

如图，D为等边△ABC中边BC的中点，在边DA的延长线上取一点E，以CE为边、在CE的左下方作等边△CEF，连结AF．若AB＝4，AF＝，则CF的值为_____．

Answer

.

【解析】

连接BF，由等边三角形的性质得出AB=AC=BC=4，CE=CF，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ECF=60°，得出∠BCF=∠ACE，证明△BCF≌△ACE（SAS），得出∠CBF=∠CAE，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°，由直角三角形的性质得出CD=AC=2，AD=CD=2，求出∠CAE=∠CBF=150°，得出∠ABF=90°，由勾股定理得出BF=，得出DE=AD+AE=，再由勾股定理即可得出答案．

【解析】
连接BF，如图所示：

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝4，CE＝CF，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ECF＝60°，

∴∠BCF＝∠ACE，

在△BCF和△ACE中，，

∴△BCF≌△ACE（SAS），

∴∠CBF＝∠CAE，

∵D为等边△ABC中边BC的中点，

∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，

∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，∠CAE＝150°，

∴∠CBF＝150°，

∴∠ABF＝150°﹣60°＝90°，

∴BF＝＝＝，

∴AE＝，

∴DE＝AD+AE＝3，

∴CF＝CE＝＝＝；

故答案为：．