Question

如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．

Answer

（1）见解析；（2）DF＝4﹣4．

【解析】

（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；

（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．设BE=DF=HE=AH=x，则HB=x．根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可．

【解析】
（1）∵AE∥CF，

∴∠AEF＝∠CFB．

∴∠AEB＝∠CFD．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，

∴∠BHE＝∠HBE＝45°．

∵∠ABE＝2∠BAE，

∴∠BHE＝2∠BAE．

又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，

∴∠HAE＝∠HEA．

∴AH＝HE．

设BE＝DF＝HE＝AH＝x，

则HB＝

∴＝4，解得x＝4﹣4．

∴DF＝4﹣4．