Question

如图，一次函数y＝kx+b分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点A、B，点P在边OA上运动（点P不与点O，A重合），PE⊥AB于点E，点F，P关于直线OE对称，PE：EA＝3：4．若EF∥OA，且四边形OPEF的周长为6．

（1）求证：四边形OPEF为菱形；

（2）求证：OB＝BE；

（3）求一次函数y＝kx+b的表达式．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）y＝﹣x+3．

【解析】

（1）根据全等三角形的性质以及平行线的性质得出∠EOP=∠OEP，从而得出OP=PE，进而求得OP=OF=PE=EF，即可证得四边形OPEF是菱形；

（2）求得∠BOE=∠BEO，根据等角对等边即可证得结论；

（3）根据题意求得AE=2，根据勾股定理求得AP，即可求得OA，得出A的坐标，设OB=BE=x，则AB=x+2，在Rt△AOB中，根据勾股定理列出x2+42=（2+x）2，解得x=3，得出B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数y=kx+b的表达式．

【解析】
如图：

（1）∵△OPE≌△OFE，

∴OP＝OF，PE＝EF，∠OEF＝∠OEP，

∵EF∥OA，

∴∠FEO＝∠EOP，

∴∠EOP＝∠OEP，

∴OP＝PE，

∴OP＝OF＝PE＝EF，

∴四边形OPEF是菱形；

（2）∵PE⊥AB，

∴∠BEP＝90°，

∴∠BEP＝∠BOA＝90°，

∵∠EOP＝∠OEP，

∴∠BOE＝∠BEO，

∴OB＝BE；

（3）∵四边形OPEF的周长为6，

∴OP＝PE＝

∵PE：EA＝3：4，

∴AE＝2，

在Rt△PAE中，AE＝2，PE＝，

∴AP＝＝＝，

∴AO＝OP+AP＝+＝4，

∴A（4，0），

设OB＝BE＝x，则AB＝x+2，

在Rt△AOB中，x2+42＝（2+x）2，

解得x＝3，

∴OB＝3，

∴B（0，3），

∵一次函数y＝kx+b分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点A、B，

∴，解得：，

∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝﹣+3．