Question

如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x²+bx+c与x轴的另一个交点为A．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；

（3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为（2）当时，PD+PE的最大值是3（3）能，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点F的坐标为F（3，）或F（1，）

【解析】

（1）在中求出和时与的值可得点 的坐标，根据点坐标利用待定系数法可得抛物线解析式；
（2）设P（，），则D（，），

E（，），用表示出,配方即可求出最大值.

（3）令，求出点坐标,求出的值,然后分类讨论.

解:（1）∵直线与轴、轴分别交于点B、C，

∴B（2，0）、C（0，1），

∵B、C在抛物线解上，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为．

（2）设P（，），

∵PD∥轴，PE∥轴，点D，E都在直线上，

∴E（，），D（，），

∴PD+PE=,

,

，

∴当时，PD+PE的最大值是3．

（3）能，理由如下：

由，令，

解得：，，

∴A（，0），B（2，0），

∴，

若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，

①当以AB为边时，则AB∥PF且AB=PF，

设P（，），则F（，），

∴，

整理得：，

解得：，（与A重合，舍去），

∴F（3，），

②当以AB为对角线时，连接PF交AB于点G，则AG=BG，PG=FG，

设G（m，0），

∵A（，0），B（2，0），

∴m-=2-m，∴m=，

∴G（，0），

作PM⊥AB于点M，FN⊥AB于点N，则NG=MG，PM=FN，

设P（，），则F（，），

∴，

整理得：，

解得：，（与A重合，舍去），

∴F（1，）．

综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点F的坐标为F（3，）或F（1，）．