Question

如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确；∆ ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确

【解析】
∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形

∴AE=BE, DE=CE

∵∠AEB＝∠DEC＝90°

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△BED

∴AC=BD

∵AD＝AC＝AB

∴AD＝BD＝AB

∴②∆ ABD是等边三角形正确

∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°

∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形

∴∠EAB＝∠ABE=45°

∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°

∴AE为∠CAD的角平分线

∵∆ ABD为等腰三角形

∴①AE垂直平分CD正确

∴∠CAD＝30°

∴②AC平分∠BAD正确

∵∆ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30°

∴∠ACB＝∠ABC=75°

同理∠ACD＝∠ADC=75°

∴④∠BCD的度数为150°正确.

故选D