Question

如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE．

（1）求证：DC＝BE；

（2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积．

Answer

（1）见解析（2）3

【解析】

⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE.

⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30°

2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出.

（1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE

∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°

∴∠DAC＝∠EAB

∴△DAC ≌△BAE

∴DC＝BE

（2） 过点A作AH⊥BC于H

∵BD⊥BC

∴∠DBC＝90°

∵等边△ABD

∴∠DBA=60° ，AB=BD=3

∴∠ABC＝30°

∵AH⊥BC

∴AH＝ ＝

∴△ABC的面积＝