Question

如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝a，且BD＝BE．

（1）求证：AC＝AD+CE；

（2）若a＝120°，点F在直线l的上方，△BEF为等边三角形，补全图形，请判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）△ACF为等边三角形．

【解析】

（1）由外角的性质可得∠ADB＝∠CBE，由“AAS”可得△ADB≌△CBE，可得AD＝CB，AB＝CE，可得结论；

（2）由“SAS”可证△AFB≌△CFE，可得AF＝CF，∠AFB＝∠CFE，可得∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°，可得△ACF是等边三角形．

证明：（1）∵∠DAB＝∠DBE＝α，

∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α．

∴∠ADB＝∠CBE

在△ADB和△CBE中，

∵,

∴△ADB≌△CBE（AAS）

∴AD＝CB，AB＝CE．

∴AC＝AB+BC＝AD+CE

（2）补全图形．

△ACF为等边三角形．

理由如下：

∵△BEF为等边三角形，

∴BF＝EF，∠BFE＝∠FBE＝∠FEB＝60°．

∵∠DBE＝120°，∴∠DBF＝60°．

∵∠ABD＝∠CEB（已证），

∴∠ABD+∠DBF＝∠CEB+∠FEB，

即∠ABF＝∠CEF．

∵AB＝CE（已证），

∴△AFB≌△CFE（SAS），

∴AF＝CF，∠AFB＝∠CFE．

∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°．

∴△ACF为等边三角形．