Question

如图，△在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心、任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，给出下列说法：①DM=DN；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC:S_△ABC=1:3，其中正确的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线，再根据全等三角形的判定定理，垂直平分线的判定方法，含30°的直角三角形的性质逐项分析可得正确选项.

【解析】
①如图，连接DM，DN，

根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，则∠MAD=∠NAD,AM=AN,AD=AD,由SAS易证△ADM≌△AND，则DM=DN，故①正确；

②∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°, 由作图知AD是∠BAC的平分线，所以∠DAC=30°, ∠ADC=60°,故②正确；

③由②可得∠DAB=30°=∠B，所以AD=BD，所以点D在AB的中垂线上，故③正确；

④∠C=90°，∠DAC =30°，所以AD=2CD，又AD=BD，所以BC=3CD，所以S△DAC:S△ABC=1:3，故④正确；

故选D