Question

过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由矩形的性质可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，即可证四边形AECF是菱形；

（2）由菱形的性质可得：菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，进而得到EF的长．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF，且AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形；

（2）∵菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，

又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，

∴×6＝×10×EF，

解得EF＝．