Question

如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．

（1）求∠EAF的度数；

（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．

Answer

（1）∠EAF=135°．（2）详见解析.

【解析】

（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题；
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；

（1）【解析】
过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠M=∠CEF=90°，

∴∠MEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，

∴∠MEF=∠ECB，

∵EC=EF，

∴△EBC≌△FME（AAS）

∴FM=BE

∴EM=BC

∵BC=AB，

∴EM=AB，

∴EM﹣AE=AB﹣AE

∴AM=BE，

∴FM=AM，

∵FM⊥AB，

∴∠MAF=45°，

∴∠EAF=135°．

（2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．

由（1）可知∠EAF=135°，

∵∠ABD=45°

∴∠EAF+∠ABD=180°，

∴AF∥BG，

∵FG∥AB，

∴四边形ABGF为平行四边形，

AF=BG，FG=AB，

∵AB=CD，

∴FG=CD，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠FGM=∠CDM，

∵∠FMG=∠CMD

∴△FGM≌△CDM（AAS），

∴GM=DM，

∴DG=2DM，

∴BD=BG+DG=AF+2DM．