Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（　　）

A. B. C.3 D.

Answer

B

【解析】

由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝ AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．

【解析】
由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．

∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．

∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．

∴∠E＝75°﹣30°＝45°．

过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：

在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．

∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．

在Rt△CHE中，

∵∠E＝45°，

∴△CEH是等腰直角三角形，

∴EH＝CH＝1．

∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，

∴AE＝AD+DE＝1+，

∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．

∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；

故选：B．