Question

如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．

（1）求证：△ABF∽△BEC；

（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；

（2）【解析】
∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=,

在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．