Question

如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).

（1）求双曲线的解析式；

（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似时,求点Q的坐标.

Answer

（1）；（2）Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．

【解析】

试题（1）根据已知条件易求P点的坐标，把P点的坐标代入y＝，即可求得k值，从而求得双曲线的解析式；（2）设Q点坐标为(a，b)，根据Q点在双曲线上求得a、b之间的关系，再求得BO、AO的长，分△QCH∽△BAO和△QCH∽△ABO两种情况求Q点的坐标.

试题解析：

(1)把A(－2，0)代入y＝ax＋1中求得a＝，所以y＝x＋1，求得P点坐标为(2，2)．

把P(2，2)代入y＝求得k＝4，所以双曲线的解析式为y＝.

(2)设Q点坐标为(a，b)．

因为Q(a，b)在y＝上，所以b＝.由y＝x＋1，可得B点坐标为(0，1)，则BO＝1.由A点坐标为(－2，0)，得AO＝2.

当△QCH∽△BAO时，＝，即＝，所以a－2＝2b，a－2＝2×，解得a＝4或a＝－2(舍去)，所以Q点坐标为(4，1)．

当△QCH∽△ABO时，＝，即＝，所以2a－4＝，解得a＝1＋或a＝1－(舍去)，所以Q点坐标为(1＋，2－2)．

综上所述，Q点坐标为(4，1)或(1＋，2－2)．