Question

已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．

（1）如图1，求证∠BAC=∠B+2∠E；

（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE=2∠CAF，∠B=2∠E，求∠BAC的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）80°

【解析】

（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题．

（2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α、∠ACF=90°-α，由∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°可得α=30°，据此知∠ACE=60°=∠B+∠E，根据∠B=2∠E求得∠B、∠E，继而可得答案．

【解析】
（1）∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE，

∵∠DCE=∠B+∠E，

∴∠ACE=∠B+∠E，

∵∠BAC=∠ACE+∠E，

∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．

（2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α，

∵AF⊥BC，

∴∠AFC=90°，

∴∠ACF=90°-α，

∵∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°，

∴90°-α+2α+2α=180°，

解得：α=30°，

∴∠ACE=60°=∠B+∠E，

又∵∠B=2∠E，

∴∠B=40°、∠E=20°，

∴∠BAC=∠B+2∠E=80°．