Question

△ABC是等边三角形，点E、F分别为射线AC、射线CB上两点，CE=BF，直线EB、AF交于点D.

（1）当E、F在边AC、BC上时如图，求证：△ABF≌△BCE.

（2）当E在AC延长线上时，如图，AC=10,S_△ABC=25，EG⊥BC于G，EH⊥AB于H，HE=8，EG=           .

（3）E、F分别在AC、CB延长线上时，如图，BE上有一点P，CP=BD,∠CPB是锐角，求证：BP=AD.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）△ABC是等边三角形，由AB=BC，∠ABF=∠BCE=60°，证明全等即可；

（2）记BG，HE交于点O，先求出∠CEO=30°，即可求出AE的长，从而求出EG；

（3）先证明△ABF≌△BCE，再由BD=CP，∠CPB为锐角，证明△ABD≌△BCP即可.

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABF=∠BCE=60°，

在△ABF和△ADF中

∴△ABF≌△BCE（SAS）；

（2）记BG，HE交于点O，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵EH⊥AB，EG⊥BG，

∴∠BHE=∠EGC=90°，

∴∠EOG=∠BOH=30°，

∴∠CEO=30°，∠CEG=30°，

∵HE=8，

∴AH=8，

∴AE=2AH=16，

∵AC=10，

∴CE=6，

∴CG=3，

∴EG=；

（3）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABF=∠BCE=120°，

在△ABF和△BCE中

∴△ABF≌△BCE（SAS），

∴AF=BE，∠AFB=∠BEC，∠FAB=∠EBC，

∵∠FBD=∠CBE，

∴∠FDB=∠BCE=120°，

∴∠ADB=60°，

∵△ABF≌△BCE（SAS），BD=CP，∠CPB为锐角，

∴∠CPB=∠BDA=60°，

在△ABD和△BCP中

∴△ABD≌△BCP（AAS），

∴BP=AD.