Question

如图，在中，为边的中点，为线段上一点，联结并延长交边于点，过点作的平分线，交射线于点.设.

（1）当时，求的值；

（2）设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）当时，求的值.

Answer

（1）；（2）；（3）或2.

【解析】

（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x＝1代入已知等式，结合比例式得到AG＝BE，AD＝AB，即可求出所求式子的值；

（2）设AB＝1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；

（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

（1）在中，，，

.

，即，

.

，.

为的中点，

.

，即.

（2），

不妨设.

则，.

，

.

，.

，

.

，

.

.

在中，，

.

.

.

.

（3）①当点在边上时，

，

.

.

，

.

.

解得.

②当在的延长线上时，

，

.

.

，

.

.

解得.

综上所述，可知的值为或2.