Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．

Answer

（1）（1，0）、（3，0）、（2，）；（2）y=–（x–2）2+；（3）向上平移了5–=4个单位长度

【解析】

试题（1）

过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得△OAD≌△EBC，则OA=AE=BE，设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；
(2)根据(1)题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(3)设出平移后的抛物线解析式，将D点坐标代入此函数的解析式中，即可求出平移后的函数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位.

【解析】
（1）过C作CE⊥AB于E，由抛物线的对称性可知AE=BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD//AB, AD=BC，

∴∠DCE=∠CEO=90°，

又∠DOA=90°， ∴四边形ODCE为矩形，

∴OD=CE,

在Rt△AOD和Rt△BEC中，

∵OD=EC，AD=BC，

∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），

∴OA=BE=AE，

设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，

∵D（0，）, ∴OD=CE= ,

在Rt△AOD中， ,

∴ m2+（）2=（2m）2，

解得m =1；

∴DC=2，OA=1，OB=3；

∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；

（2）由（1）知顶点C（2，），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+，

代入A点坐标可得 ，

解得a =﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+；

（3）设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣2）2+k，

代入D（0，）可得 ，

解得k=5，

所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，

向上平移了5﹣=4个单位．