Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE，其中正确结论有（ ）个．

A.2 B.3 C.4 D.5

Answer

C

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．

∴BE=DF．故结论①正确．

由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确．

∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF．

∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确．

设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=，

∴AC=．∴AB=．∴BE=．

∴BE+DF．故结论④错误．

∵，，

∴．故结论⑤正确．

综上所述，正确的有4个，故选C．