Question

某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）运动．若小车在运动过程中只触发一次报警装置，则a的取值范围是_____．

Answer

a＝﹣1或a＜﹣或a＞．

【解析】

把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．

抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），

∴其对称轴为：x＝1，且图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）．

∵抛物线顶点为（1，﹣4a），当顶点在线段AB上时，﹣4a＝4，则a＝﹣1；

当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4＝﹣3a，

∴a＝﹣，由对称轴为x＝1及图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）可知，当a＜﹣时，抛物线与线段AB只有一个交点；

当抛物线过点（4，4）时，代入解析式得16a﹣8a﹣3a＝4，

∴a＝，同理可知当a＞时，抛物线与线段AB只有一个交点．

故答案为：a＝﹣1或a＜﹣或a＞．