Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转35°后能与△ADE重合，点G、F是DE分别与AB、BC的交点．

（1）求∠AGE的度数；

（2）求证：四边形ADFC是菱形．

Answer

（1）∠AGE＝70°；（2）见解析.

【解析】

（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B=∠C=35°，由旋转的性质得出∠D=∠B=35°，∠BAD=35°，由三角形的外角性质即可得出答案；
（2）由旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠D=∠B=35°=∠C，∠BAD=35°，求出∠DAC=∠BAD+∠BAC=145°，得出∠DAC+∠D=180°，∠DAC+∠C=180°，证出AC∥DF，AD∥CF，得出四边形ADFC是平行四边形，证出AD=AC，即可得出结论．

（1）【解析】
∵AB＝AC，∠BAC＝110°，

∴∠B＝∠C＝（180°﹣110°）＝35°，

由旋转的性质得：∠D＝∠B＝35°，∠BAD＝35°，

∴∠AGE＝∠D+∠BAD＝35°+35°＝70°；

（2）证明：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转35°后能与△ADE重合，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠D＝∠B＝35°＝∠C，∠BAD＝35°，

∴∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝35°+110°＝145°，

∴∠DAC+∠D＝180°，∠DAC+∠C＝180°，

∴AC∥DF，AD∥CF，

∴四边形ADFC是平行四边形，

又∵AB＝AC，

∴AD＝AC，

∴四边形ADFC是菱形．