Question

如图1，点A在x轴的负半轴上，点B的坐标为（﹣2，﹣4），抛物线y＝ax²+bx的对称轴为x＝﹣5，该抛物线经过点A、B，点E是AB与对称轴x＝﹣5的交点．

（1）如图1，点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点，在对称轴x＝﹣5上有一动点M，当△ABP的面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值以及点P的坐标．

（2）如图2，把△ABO沿射线BA方向平移，得到△CDF，其中点C、D、F分别是点A、B、O的对应点，且点F与点O不重合，平移过程中，是否存在这样的点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）|PM﹣OM|的最大值＝2；P（﹣6，﹣6）；（2）存在，点F的坐标为：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．

【解析】

（1）△ABP的面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，此时点P（-6，-6），点P关于抛物线对称轴的对称点Q（-4，-6），连接OQ交函数对称轴于点M，则点M为所求，即可求解；

（2）直线AB的表达式为：y=-x-5，当x=-5时，y=-，即点E（-5，-），则设图线向上平移m个单位，则向左平移2m个单位，故点F（-2m，m），而点A（-10，0），即可求解．

（1）函数的对称轴为x＝﹣5，则点A（﹣10，0），

则函数表达式为：y＝ax（x+10），将点B的坐标代入上式并解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x，

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣5，

过点P作x轴的垂线交AB于点H，设点P（x，x2+x）、点H（x，﹣x﹣5），

△ABP的面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，

∵﹣1＜0，故当x＝﹣6时，S有最大值，此时点P（﹣6，﹣6），

点P关于抛物线对称轴的对称点Q（﹣4，﹣6），连接OQ交函数对称轴于点M，则点M为所求，

同理：直线OQ的表达式为：y＝x，当x＝﹣5时，y＝﹣，即点M（﹣5，﹣）；

|PM﹣OM|的最大值＝OQ＝＝2；

（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣5，当x＝﹣5时，y＝﹣，即点E（﹣5，﹣），

则设图线向上平移m个单位，则向左平移2m个单位，

故点F（﹣2m，m），而点A（﹣10，0），

则AF2＝（10﹣2m）2+m2，EF2＝（2m﹣5）2+（m+）2，AE2＝25+；

①当AF＝EF时，则（10﹣2m）2+m2＝（2m﹣5）2+（m+）2，解得：m＝；

②当AF＝AE时，同理可得：m＝﹣5或﹣11；

③当EF＝AE时，同理可得：m＝0（舍去）或7；

综上点F的坐标为：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．